物理习题中的平面几何

物理习题中的平面几何 ──圆周与直角三角形 <?XML:NAMESPACE PREFIX = FCK />

　　涉及圆周的某些综合题，常要在圆周里构建直角三角形来帮助解答。这些直角三角形大多由该圆周的半径、弦或切线构成。这里用几道高考“压轴题”为例来说明。

　　例1（2010辽宁）如图所示，在0≤x≤、0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。

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　　分析：运动过程如图所示，需构建两个直角三角形，即⊿和⊿。用以建立两个已知量、，与未知量R之间的联系（见解答中的式②和式③），从而便于求解速度v及其夹角正弦。

　　解：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，

　　根据牛顿第二定律和洛伦兹力：

　　得： ①

　　当a/2<R<a时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。

　　设该粒子在磁场中运动的时间为，依题意，时，

　　设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系得：

　　 ②

　　以及 ③

　　且 ④

　　联立①②③④得：，

　　答案：（1）；（2）

　　例2（2007全国2）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强磁场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

　　（1）粒子经过C点速度的大小和方向；

　　（2）磁感应强度的大小B。

　　分析：运动过程包含类平抛和匀速圆周运动。第（2）问较难。欲求B值，要先算出圆周半径R，应构建相应的直角三角形，如下图中的⊿以及⊿．再由已知的h和L来求解（见解答中的式⑩和⑾）。

　　解：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有

　　qE＝ma ①

　　加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有

　　h＝at2 ②

　　l＝v0t ③

　　由②③式得

　　v0＝l ④

　　设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量

　　v1＝ ⑤由①④⑤式得

　　v1＝＝ ⑥

　　设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有

　　tanα＝ ⑦

　　由④⑤⑦式得

　　α＝arctan ⑧

　　（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有

　　qvB＝m ⑨

　　设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得

　　Rcosβ＝Rcosα＋h ⑩

　　Rsinβ＝l－Rsinα ⑾

　　由⑧⑩⑾式解得

　　R＝ ⑿

　　由⑥⑨⑿式得

　　B＝ ⒀

　　值得归纳的是，例题1和例题2有共通的地方，即利用两个直角三角形，来建立两个已知长度和一个未知半径的联系。题1中是用、求半径R；题2中是用h、l求半径R，而接下来的例题3，仍然涉及两个直角三角形，但这次是用两个已知的半径来求解一个未知的长度。

　　例3（2008重庆）下图是一种质谱仪的工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：

　　（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；

　　（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；

　　（3）线段CM的长度。

　　分析：在第（2）问的过程中，圆心上移了，但运动轨迹是对称的；第（3）问难度加大，而下图中的⊿和⊿，会有助于建立已知量OM和 O′N，与未知量NM之间的联系（见解答中的式⑧），便于CM的求解。

　　解：（1）设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，

　　由且 R=d

　　得：B＝ ①

　　由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外。

　　（2）设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t，

　　由 v＝ ②

　　且 R′= ③

　　联立①②③得 R′= ④

　　离子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T＝ ⑤

　　结合①⑤得t=T×= ⑥

　　（3）由图可知CM= ⑦

　　再由 ⑧

　　联立④⑦⑧求解得 CM= ⑨

　　注：若引入正弦定理，利用非直角三角形，也能得出=，可代替式⑧。

　　跳出磁场，在其他力学问题中，圆周与直角三角形也有“配合”。比如下面这道例题4。

　　例4（08全国2）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。

　　分析：如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡。欲知运行时间，要先求出卫星周期，以及相应的圆心角。前者由万有引力定律求解，后者则应由==间接得到，因为不在直角三角形中，难与各边建立三角函数关系。而和各是两直角三角形（⊿和⊿）中的内角，便于用反三角函数表示，见解答中的式⑤和式⑥。